2048 解題程式的原理

棋盤下方的提示和自動遊玩按鈕，給的不是事先寫好的建議。它們會在你的瀏覽器裡，針對眼前這個棋盤本身做一次真正的搜尋，回傳評分最高的一步。提示會在棋盤上顯示一個箭頭，自動遊玩則會一直走這一步，直到對局結束。什麼都不會傳到伺服器。

從空棋盤開始、全部交給這個搜尋，它有 91.4% 的對局能湊到 2048 方塊。下面說明它是怎麼做到的。

為什麼用期望值最大化，而不是下棋的演算法

處理賽局樹的經典工具是極小化極大：假設對手一定會選最糟的應對，並照這個來規劃。可是 2048 沒有對手，有的只是隨機出現的方塊，而這個差別意義重大。

用極小化極大思路下棋的玩家，會把新方塊當成惡意的，認定 4 一定會出現在最糟的格子裡。結果是把運算資源全花在防備三十次裡不一定出現一次的棋盤上，下出多疑、偏守的棋。期望值最大化則不同，它把每一種實際可能出現的情況照各自的機率加權，再取平均。它是照機率下棋，而不是照惡夢下棋；只要隨機沒有惡意，這就是正確的模型。

所以搜尋會在兩種節點之間交替。在玩家節點，四個方向全都試一遍，留下結果最好的那個。在機率節點，在每一個空格裡以 0.9 的權重放一個 2、以 0.1 的權重放一個 4，分別評估後取平均。這跟遊戲本身出方塊時的 90 比 10 比例完全相同。

解題程式眼中的「好棋盤」

搜尋不可能一路展開到對局結束，所以解題程式在搜尋的最底層，用四項指標幫棋盤打分數，再照下面的權重加總。

四項裡有三項，不過是把大家常給的建議翻成了算式：留下空格，保持排列，把大方塊放在角落。把這些建議變成判斷的，是權重。只要空格能多出夠多，搜尋會心甘情願接受角落的位置稍微差一點。而人往往剛好把這筆交易算反了。

每一項用的都不是方塊上的數字本身，而是以 2 為底的對數。這樣從 2 到 4 的差距，跟從 1024 到 2048 的差距算得一樣大。不然棋盤上最大的那個方塊會把其他一切都蓋過去。

把運算花在需要的地方

機率節點在每個空格上都要分岔，而且每次分兩支。空格有十個的寬鬆棋盤，每一層就是二十個分支；空格只剩三個的擁擠棋盤，只有六個。把兩者搜到一樣的深度是本末倒置：寬鬆的棋盤容易活下去，搜尋起來卻很吃力；擁擠的棋盤剛好相反。

所以深度會隨棋盤調整。

寬鬆的棋盤輕輕帶過，變擠了就更加謹慎。這剛好複製了高手的直覺。也因為這樣，不管在對局的哪個階段，從點下去到箭頭出現的等待時間都能維持在舒服的範圍內。

實際實力

在 500 局完整的對局裡，湊到 2048 的對局是 91.4%，得分中位數是 37,004 分，對局長度的中位數是 1,943 步。包含對照組的完整結果裡，可以把這些數字放回脈絡中來看。

有必要說清楚：這並不是最頂尖的 2048 機器人。公開的解題程式使用位元棋盤表示法、事先算好的移動表和置換表快取，搜得深得多，能湊到 32768。這個解題程式在瀏覽器的主執行緒上用一般陣列執行，步與步之間不做快取，而且為了不讓網頁卡頓，限制在往前看 4 步以內。它不是為了刷紀錄，而是為了用幾乎感覺不到等待的速度，回答「這裡該怎麼走？」這個問題。

不會毀掉遊戲樂趣的用法

用好提示的方法，不是照著它走。先自己決定這一步，再按提示。箭頭一致的話，沒什麼新東西可學；可是不一致的話，你就找到了自己看錯的那個棋盤，而實力進步的種子就在那裡。

自動遊玩與其當救援投手，不如當示範賽來用更有價值。在你自己覺得難的局面讓它跑一跑，看它守住哪個方向、刻意不做哪些合併。隨時按方向鍵，就能馬上把操作拿回來。

解題程式是大約 250 行、沒有任何相依套件的 JavaScript，以一般檔案的形式放在 /js/ai.js。想確認這裡寫的內容，可以用瀏覽器的檢視原始碼直接讀它。